수학 집합의 槪念
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작성일 23-01-10 01:04
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그는 무한하거나 끝이 없다고 생각하고 마는 관념을 비교 가능한 대상으로 보고 연구했다.
집합에 관한 이론(理論)은 1895년 칸토어에 의해 창시되었다. 칸토어는 이를 위해 두 집합의 원소 사이에 일대일대응이 가능할 때, 두 집합은 같은 농도를 갖는다고 定義(정이)함으로써 유한집합의 ‘개수’에 대응되는 무한집합의 ‘농도’를 도입하였다. 이러한 생각을 바탕으로 하고 있는 집합론에 의해, 칸토어 이전까지는 애매모호하게 취급되었던 `무한`이라는 관념이 명확하게 취급되기 처음 했다. 하지만 [0,2]와 [0,4]는 둘 다 원소의 개수가 무한개로 같기 때문에 무한집합에서는 개수가 같은 집합이 자기자신일수 밖에 없다는 상식이 적용되지 않음을 알 수 있다아 이런 관념들을 바탕으로 무한집합인 자연수, 정수, 유리수, 실수 사이의…(To be continued )
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다. 그리고 그 결과 집합론은 오늘날 수학의 전 분야를 관통하는 중요한 이론(理論)으로 확고한 위치를 차지하게 되었다. 예를 들어 일차함수 f(x)=4x를 생각해보면 f(x)는 1대1 대응함수이고 定義(정이)역 [0,2]는 定義(정이)역 [0,4]의 진부분집합이 된다된다.‘농도’를 카디날수(cardinal number)라고도 한다. 원소가 유한개일 때는 그 개수로 집합의 대소를 비교할 수 있으나 원소의 개수가 무한히 많을 때는 그럴 필요가 없다. 집합이 되기 위해선 어떤 원소가 그 집합에 들어 있는지 들어있지 않은지를 식별할 수 있어야 하고 그 집합에서 두 원소를 취했을 때 두 원소가 서로 같은지, 같지 않은지를 식별할 수 있어야 한다.
무한집합의 농도 관념을 예를 들면 자연수의 집합과 정수의 집합을 비교해보면 둘 다 무한하지만 농도에 차이가 나는 것을 알 수 있다아 그리고 유한집합에서 성립하는 상식 중에 ‘A가 유한집합이라고 하면 A의 진부분집합의 개수는 A의 개수보다 작다’라는 것이 있는데 이를 무한집합에는 적용할 수 없다.
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집합이란 어떤 조건에 따라 일정하게 결정되는 요소의 모임을 말하며 그 요소를 집합의 원소라고 한다. 그는 삼각함수를 연구하던 중 그러한 이론(理論)의 necessity need을 절감했다.
